Академия занимательных наук. Математика. Вопросы

Здравствуй, дорогая Люда, давай попробуем решить неравенство:

( x – 3 )( x – 5 ) < 2( x – 3 ).

Здесь нельзя делить обе части неравенства на ( x – 3 ), так как мы не знаем знака этого двучлена (он содержит неизвестное x). Поэтому мы перенесём все члены неравенства в левую часть:

( x – 3 )( x – 5 ) – 2( x – 3 ) < 0 ,

разложим её на множители:

( x – 3 )( x – 5 – 2 ) < 0 , и получим: ( x – 3 )( x – 7 ) < 0. Теперь определим знак произведения в левой части неравенства в различных интервалах. Заметим, что x = 3 и x = 7 - корни этого выражения. Поэтому вся числовая ось разделится этими корнями на следующие три интервала . В интервале I ( x < 3 ) оба сомножителя отрицательны, следовательно, их произведение положительно; в интервале II ( 3 < x < 7 ) первый множитель ( x – 3 ) положителен, а второй ( x – 7 ) отрицателен, поэтому их произведение отрицательно; в интервале III ( x > 7 ) оба сомножителя положительны, следовательно, их произведение также положительно. Теперь остаётся выбрать интервал, в котором наше произведение отрицательно. Это интервал II, следовательно, решение неравенства: 3 < x < 7. Оно означает, что x должен быть одновременно больше 3 и меньше 7.

Итак, чтобы решить алгебраическое неравенство, надо перенести все его члены в левую (или правую) часть и решить соответствующее уравнение. После этого найденные корни нанести на числовую ось; в результате она разбивается на некоторое число интервалов. На последнем этапе решения нужно определить, какой знак имеет многочлен внутри каждого из этих интервалов, и выбрать нужные интервалы в соответствии со знаком решаемого неравенства.

Системы неравенств. Чтобы решить систему неравенств, необходимо решить каждое из них, и совместить их решения. Это совмещение приводит к одному из двух возможных случаев: либо система имеет решение, либо нет. Попробуй решить системы неравенств самостоятельно. Жду твоих писем.??