Академия занимательных наук. Математика. Вопросы

Арифметическая прогрессия - это ряд чисел вида 2, 5, 8, 11, 14,17,20….. Здесь задано первое число 2, а остальные получаются в результате прибавления каждый раз к предыдущему числу числа 3. Число 3 называется шаг прогрессии.  Пусть у нас будет n членов арифметической прогрессии. a – это первый член, l - последний член и d - разность между членами, идущими последовательно. Тогда l = a +(n - 1) d. Сумма первых n членов прогрессии рассчитывается по формуле:

Если внимательно присмотреться к формуле, то можно увидеть, что сумма n членов равна числу членов, умноженному на полусумму первого и последнего членов. В нашем примере сумма семи членов равна S=7*(2+20)/2 = 77.

Здравствуй, Максим. Этот пример является иллюстрацией софистики в рассуждениях (в них обязательно присутствует скрытая ошибка в логических рассуждениях), таких примеров можно привести много и разного уровня сложности.

Возьмем тождество

-20 = -20

Представим его как 16 — 36 = 25 — 45

Прибавим к обеим частям 81/4

16 — 36 + 81/4 = 25 — 45 + 81/4

В левой части полный квадрат разности чисел 4 и 9/2

В правой части полный квадрат разности чисел 5 и 9/2

(4 — 9/2)² = (5 — 9/2)²

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения.

4 — 9/2 = 5 — 9/2

4 = 5

2 х 2 = 5

Пусть из множества Х выбирается неупорядоченное подмножество (порядок элементов в подмножестве не имеет значения). Сочетаниями из n элементов по k называются подмножества из k элементов, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом. Общее число всех сочетаний из n по k обозначается  C_n^k и равно

Пример. В группе из 27 студентов нужно выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно это сделать?

Решение. Так как порядок студентов не важен, используем формулу для числа сочетаний^

В нашем примере:

 = 252 способа. Ответ 252 способа.

Здравствуй, Вика. Что обозначает «2000»?  Впрочем, это неважно. Убираем один ноль, это и будет ответ. То есть 200.

Здравствуй, Вика. Это мера объема. Она содержит метр в длину, метр в ширину и метр в высоту.

Здравствуйте. Ничего сложного здесь нет. Существует, по крайней мере,  два способа – метод сложения и метод подстановки. Метод подстановки более универсален, поэтому рекомендую освоить  именно его. В этом случае из одного уравнения мы выражаем Y  через X и затем подставляем полученное выражение во второе уравнение. Решаем второе уравнение относительно X: раскрываем скобки, упрощаем, считаем.

Пример: 2х-у+8=9         -у=9-8-2х  у=2х-1 подставляем это во второе уравнение

              х+4у-17=6      х+4(2х-1)-17=6

                                        х+8х-4-17-6=0

                                        9х-27=0  

                                       Х=3, из первого уравнения получаем  у=2^.3-1=6-1=5

Ответ:х=3,у=5.

То же методом сложения:   2х-у+8=9  Умножаем первое уравнение на 4 и складываем со вторым

                                               х+4у-17=6 

 8х-4у+32+х+4у-17=36+6

 8х+32+х-17=42

9х=27

Х=3, из второго уравнения 3+4у-17=6 получим 4у=20,у=5, ответ х=3,у=5.                                          

Логарифмом положительного числа b по основанию a (a > 0, a ≠ 1) называется степень, в которую нужно возвести число a, чтобы получить b. Таким образом, log_ab = c, следовательно b = a^c Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

 Пример: log₂ x = 3,       log₃ x = -1,      

 Чтобы решить такие уравнения, нужно использовать определение логарифма: Что значит, что log₂ x = 3 ? Это значит, что x = 2³ или x = 8. Также если log₃ x = -1, это значит, что при возведении в -1 степень числа 3 получаем х.  x = 3^-1 или x = ¹/_3.     Так как любое число в нулевой степени равно 1,то  X=(1/3)⁰ или x = 1.

Также при решении логарифмических уравнений иногда нужно использовать свойства логарифмов.

Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей.

Определение логарифма нужно знать наизусть и хорошо понимать, что есть что: где основание, где показатель степени, тогда легче решать.

Здравствуй, Илья. После 1.000.000.000 идёт число 1.000.000.001 (один миллиард один), а после  миллиарда идёт триллион, а затем после триллиона  - квадриллион.

Здравствуйте, Константин. Представьте, что Вы режете пирог, а не лист бумаги. В этом случае режем  в самом начале поперёк листа бумаги, после этого дважды крест на крест. Вот и получились одинаковые куски. Их ровно 8. Что же касается листа бумаги, то это вряд ли возможно, потому что число касаний – нечётное, а число кусков – чётное.

Здравствуй, Сергей. Давай поделим его на разряды и посчитаем. У нас получилось число 5.000.000.000,в нем 3 раза по 3 нуля,  шесть нулей – это миллионы, после миллионов идут миллиарды. Это число – 5 миллиардов.