Академия занимательных наук. Математика. Вопросы

Здравствуй, Егор. Биссектриса (от лат. bi- «двойное», и sectio «разрезание») угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на две равные части.

Биссектриса угла (вместе с её продолжением) есть геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла (или их продолжений).

Биссектриса угла треугольника - это отрезок биссектрисы этого угла, соединяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне. Любая из трех биссектрис внутренних углов треугольника называется биссектрисой треугольника. Свойства биссектрис

1.Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон.

2.Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке. Это точка называется центром вписанной окружности.

3.Биссектрисы внутреннего и внешнего углов перпендикулярны.

Здравствуй, Сава.

Наиболее употребительные координатные системы - декартовы прямоугольные. Кроме прямоугольных систем координат существуют косоугольные системы, полярные системы координат - на плоскости, а в пространстве - цилиндрические или сферические системы координат. Например, координатные линии в полярных системах - окружности с центром в полюсе и лучи. Введение термина «полярные координаты» приписывают Грегорио Фонтана, жившему в XVIII веке в Италии.

Однако Грегуар де Сен-Венсан и Бонавентура Кавальери независимо друг от друга пришли к похожей концепции в середине XVII века. Сен-Венсан описал полярную систему в личных заметках в 1625 году. Это наиболее употребляемым системам координат в элементарной математике, есть формулы перехода из одной системы в другую. Но есть и реже используемые системы координат, например; биполярные координаты, бицентрические координаты, бицилиндрические координаты, конические координаты, параболические координаты, трилинейные координаты, эллипсоидальные координаты .

Здравствуй, Алдар.

Квадратура (лат. quadratura — придание квадратной формы) Слово квадратура имело разные значения на разных этапах развития математики и может означать следующее. 1.Построение квадрата, равновеликого данной фигуре (например, квадратура круга). Первоначальное античное понимание вычисления площади.

2. Число квадратных единиц в площади данной фигуры. Употребляется в основном в технике и быту («квадратура помещения 100 м²»).

3. Нахождение площади криволинейной фигуры.

Квадратура круга — задача, заключающаяся в нахождении построения с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого по площади данному кругу. Наряду с трисекцией, является одной из самых известных неразрешимых задач на построение с помощью циркуля и линейки.

Здравствуй, Дима. Древнейшие древнеегипетские математические тексты относятся к началу II тысячелетия до н. э. Математика тогда использовалась в астрономии, мореплавании, землемерии, при строительстве домов, плотин, каналов и военных укреплений.

Развитие математики опирается на письменность и умение записывать числа. Наверно, древние люди сначала выражали количество путём рисования чёрточек на земле или выцарапывали их на древесине. Древние инки, не имея иной системы письменности, представляли и сохраняли числовые данные, используя сложную систему верёвочных узлов, так называемые кипу. Существовало множество различных систем счисления.

Первые известные записи чисел были найдены в папирусе Ахмеса, созданном египтянами. Индская цивилизация разработала современную десятичную систему счисления, включающую концепцию нуля.

Математика в современном понимании этого слова родилась в Греции. В странах-современниках Эллады математика использовалась для обыденных нужд (подсчёты, измерения). Жду твоих новых писем!

Здравствуй, Влада. Я отвечал на такой вопрос Владимиру Дерендяеву, посмотри ответ по ссылке.

Дорогая Yashma, самый перспективный материал А, так как он перспективнее В и С по условию твоей задачи.

Здравствуй, Мариночка! Для того чтобы перевести десятичную дробь в проценты надо умножить дробь на 100, например: 

0,35 *100=35% 0,18*100=18%.

Всегда рад твоим письмам.

Дорогая Настя, с удовольствием отвечу тебе на этот вопрос.

В Древнем Египте математики «настоящими» дробями считали только аликвотные дроби. Египтяне все дроби записывали как суммы долей, то есть дробей вида 1/n. Например: 8/15=1/3+1/5. Дроби 1/n  ( где n - натуральные число ), в современной математике именуются аликвотными ( от латинского aliguot- " несколько'').  То есть аликвотными дробями называются дроби с числителем 1. И даже сами аликвотные дроби египтяне часто стремились представить в виде суммы меньших аликвотных дробей. Например,     1/2=1/3+1/6, 1/4=1/5+1/20

Чтобы представить какое либо число в виде суммы аликвотных дробей, порой приходится проявлять, незаурядную изобретательность. Например, число 2/43 выражается так: 2/43= 1/42 +1/86 +1/129 +1/301. Существует формула, которая упрощает эту задачу.

1/n=(1/(n+1)) +(1/n*(n+1))

Примеры разложения дробей:

1/3=1/(3+1)+1/3*(3+1)=1/4 +1/12;      1/5=1/(5+1)+1/5*(5+1)=1/6 +1/30;

Но если преобразовать нашу формулу, то получим следующее полезное равенство:

1/(n*(n+1))=1/n -1/(n+1)

1/6=1/(2*3)=1/2 -1/3

½=1/(1*2)=1/1 -1/2

 Попробуем решить задачу:

1/2+1/(2*3)+1/(3*4)+1/(4*5)+…….+1/(19*20) =????

Воспользуемся нашей формулой для разложения аликвотной дроби в виде разности:

½=1/(1*2)=1/1 -1/2

1/6=1/(2*3)=1/2-1/3

1/12=1/(3*4)=1/3-1/4     и т.д.     1/20=1/(4*5)=1/4-1/5 

 Подставив, уже разложенные выражения в наш пример, получаем:

1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5……..+1/19-1/19-1/20=1/1-1/20=19/20.

Мы представили формулу, как удобство при разложении аликвотной дроби на 2 слагаемых. При разложении 1 на два слагаемых получается: 1=1/2+1/2 . Чтобы разложить 1 на 3 слагаемых, мы возьмем одну аликвотную дробь и по формуле разложим ее еще на две аликвотные дроби:  ½=1/3+1/6 => 1=1/2+1/3+1/6;

Чтобы разделить на 4 слагаемых, делим еще одну дробь на две аликвотные дроби:

1/3=1/4+1/12 => 1=1/2+1/4+1/12+1/6.

Здравствуй, Антон! С у довольствием помогу тебе с этой задачей.?

Трисекция угла — задача о делении заданного угла на три равные части построением циркулем и линейкой. Иначе говоря, необходимо построить трисектрисы угла — лучи, делящие угол на три равные части. 

Хотя трисекция угла в общем случае невыполнима с помощью циркуля и линейки, существуют кривые, с помощью которых это построение можно выполнить. Улитка Паскаля или трисектриса, Конические сечения, Спираль Архимеда.

Предположим, что имеется угол α = POM (рис. 1)

 Необходимо построить угол β, величина которого втрое меньше данного: α = 3β.

Продолжим сторону OM исходного угла и построим на ней как на диаметре окружность произвольного радиуса « a » с центром в точке O. Стороны угла пересекаются с окружностью в точках P и M. Возьмём линейку, отложив на ней величину « a » и используя прямую OM в качестве направляющей, точку P в качестве полюса, а полуокружность в качестве целевой линии, строим отрезок AB. Получим угол PAM, равный одной трети исходного угла α.

Доказательство; Рассмотрим треугольник ABO (рис. 2).

Так как AB = BO = a, то треугольник равнобедренный, и углы при его основании равны: ?BAO = ?BOA = β. Угол ?PBO как внешний угол треугольника ABO равен 2β.

Треугольник BPO также равнобедренный, углы при его основании равны 2β, а угол при вершине γ = 180°–4β. С другой стороны, γ = 180°–β–α. Следовательно, 180°–4β = 180°–β–α  ??