Академия занимательных наук. Математика. Вопросы

Дорогой Артём, метод Гаусса очень интересный, но не очень простой. Гаусс Карл Фридрих (1777 - 1855). Выдающийся немецкий математик. Его труды  повлияли на развитие математической мысли, которая была неизменной многие столетия. Гаусс занимался основной теоремой алгебры о количестве корней алгебраического уравнения.

Метод Гаусса идеально подходит для решения систем содержащих больше трех линейных уравнений. Итак, метод Гаусса состоит из следующих шагов:

1.Рассмотрим первое уравнение. Выберем первый ненулевой коэффициент и разделим все уравнение на него. Получим уравнение, в которое некоторая переменная xi входит с коэффициентом 1;

2.Вычтем это уравнение из всех остальных, умножая его на такие числа, чтобы коэффициенты при переменной xi в остальных уравнениях обнулились. Получим систему, разрешенную относительно переменной xi, и равносильную исходной;

3.Если возникают уравнения (редко, но бывает; например, 0 = 0), вычеркиваем их из системы, в результате уравнений становится на одно меньше;

4.Повторяем предыдущие шаги не более n раз, где n — число уравнений в системе. Каждый раз выбираем для «обработки» новую переменную. Если возникают противоречивые уравнения (например, 0 = 8), система несовместна.

Через несколько шагов получим либо разрешенную систему, либо несовместную. Разрешенные системы распадаются на два случая:

1.Число переменных равно числу уравнений. Значит, система определена;

2.Число переменных больше числа уравнений. Собираем все свободные переменные справа — получаем формулы для разрешенных переменных. Эти формулы так и записываются в ответ.

Система линейных уравнений решена! Рассмотрим пример:

Решить систему уравнений:

х₁-х₂+х₃=6

х₁-2х₂+х₃=9

х₁-4х₂-2х₃=3

Решение:

1. Вычитаем первое уравнение из второго и третьего — получим разрешенную переменную x₂;

2.Умножаем второе уравнение на (−1), а третье уравнение делим на (−3) — получим два уравнения, в которых переменная x₃ входит с коэффициентом 1;

3.Прибавляем второе уравнение к первому, а из третьего — вычитаем. Получим разрешенную переменную x₃;

4.Наконец, вычитаем третье уравнение из первого — получаем разрешенную переменную x₁;

Получили разрешенную систему, записываем ответ. Ответ: x₁ = −1; x₂ = −3; x₃ = 4.

Здравствуй, Максим, точно неизвестно, кто придумал способ умножения чисел на 11, но в XIX в. французским математиком, специалистом по теории чисел Эдуардом Люка был опубликован четырёхтомный труд по занимательной математике, ставший классическим, там был описан этот способ умножения.

В 1891 году С.А. Рачинский издал книгу «1001 задача для умственного счёта», которая стала первым в России сборником упражнений по устному счёту, где был этот способ умножения двухзначного числа на 11.

Здравствуй, Ксения. Ты права 6.00=180 градусов, а вот 4.40=100 градусов –подумай и посчитай еще раз и внимательно посмотри программу. Она есть на сайте, выпуск номер 15. Жду твоих писем.

Здравствуйте, дорогие друзья. У многих чисел есть разные интересные свойства, например:

1 x 1 = 1

11 x 11 = 121

111 x 111 = 12321

1111 x 1111 = 1234321

11111 x 11111 = 123454321

111111 x 111111 = 12345654321

1111111 x 1111111 = 1234567654321

11111111 x 11111111 = 123456787654321

При умножении некоторых чисел на 7 получаются интересные произведения:

15873 • 7 = 111111

31746 • 7 = 222222

79365 • 7 = 555555

142857 •7 = 999999

Ещё один пример – при умножении чисел с семерками и девятками:

9 • 7 = 63

99 • 77 = 7623

999 • 777 = 776223

9999 • 7777 = 77762223

99999 • 77777 =7777622223

Жду ваших интересных писем!

Дорогая Даша, давай решим твою задачу. Узнаем, сколько стоит одна тетрадка? Для этого надо разделить 21 рубль на 6 тетрадок, получим, что 1 тетрадка стоит 3 рубля 50 коп. За 4 тетради надо заплатить в 4 раза больше, получается 14 рублей. Если ты не поняла, пиши!

Здравствуй,  Людмила.  Решим неравенство (х-2)*(х-5)<0. Для этого сначала надо решить уравнение (х-2)*(х-5)=0;  х-2=0, х-5=0  следовательно корни уравнения х₁=2 и х₂=5.

Числовая ось разделиться этими корнями на  3 интервала;

1-  х <2 ,например х=1 тогда  (1-2)*(1-5)=4>0, значит при значениях х<2   неравенство будет иметь положительные значения, эти значения нам не подходят.

2- х>5, например х=6 тогда (6-2)*(6-5)=4>0, неравенство при значениях х>5 тоже положительно.

3 – 2<х<5 возьмем например х=3   (3-2)*(3-5)= -2<0, значит неравенство верно при значениях  2< х <5.

Этот способ решения неравенств называется методом интервалов. Попробуй решить самостоятельно : (х+3)*(х-5)>0.

Дорогая Настя! Давай решим твой пример, использую 2 простых арифметических действия (сложение и вычитание):

8+4=12, 12+1=13, 13-3+10, далее 10+2=12, 12+1=13, и 13-5=8.

Итого ответ: 8.

Напиши, если ты что-то не поняла!

Здравствуй, Виктория. Абсолютная величина (модуль).

Для отрицательного числа – это положительное число, получаемое от перемены его знака с « – » на « + »; для положительного числа и нуля – само это число.

Для обозначения абсолютной величины (модуля) числа используются две прямые черты, внутри которых записывается это число.

Примеры:

| – 5 | = 5,

| 7 | = 7,

| 0 | = 0.

Здравствуй, дорогой друг. Решим твою задачу;

1)Формула площади трапеции :S=1/2(AB+CD)*Высоту

2)Из всех данных нам не хватает только одного - высоты Её мы найдем вот так:

*Проведем высоту AH, у нас образуется прямоугольный треугольник ADH.

*Из теоремы мы помним, что в прямоугольном треугольнике сторона, лежащая против угла в 30 градусов равна половине гипотенузы. Гипотенуза у нас AD, значит её половина 8:2=4

3)Итак. AB дано по условию, CD тоже, Высоту(AH) мы нашли. Считаем : 1/2(2+10)*4=6*4=24. Ответ : 24 квадратных сантиметра. =)

Жду твоих писем.

Дорогая Диана! Названия геометрическим фигурам придумали скорее всего в Египте или Вавилоне. Истоки геометрии, как и арифметики, теряются во тьме веков.

Ко времени появления письменности люди имели уже некоторый запас геометрических знаний, полученных в результате практической деятельности.

По дошедшим до нас египетским папирусам и древневавилонским текстам видно, что уже за 2 тыс. лет до н. э. люди умели определять площади треугольника, прямоугольника, трапеции. Они знали также формулы для определения объемов куба, цилиндра, конуса, пирамиды и усеченной пирамиды. При этом точные формулы применялись наряду с приближенными и различия между ними не делалось.

Жду твоих писем!